avengers

Rispondiamo al quesito di fisica quantistica che Iron Man pone alla sua intelligenza artificiale nel film "Avengers: Endgame". In una scena cruciale del blockbuster "Avengers: Endgame", il genio miliardario Tony Stark, alias Iron Man, propone alla sua intelligenza artificiale F.R.I.D.A.Y. un intrigante quesito di meccanica quantistica, collegandolo a una fittizia teoria sui viaggi nel tempo. L'intuizione di Stark si basa su una struttura matematica nota come nastro di Möbius. Si tratta di una superficie caratterizzata da una sola faccia e un solo bordo. Nel contesto del film, Stark teorizza un metodo fantasioso di viaggio temporale basato su quello che definisce "inversione del nastro di Möbius". Potete recuperare la scena in questione nel video qui sotto. https://www.youtube.com/watch?vuKndgvIu5MY Mentre i viaggi nel tempo rimangono nel dominio della fantascienza, il quesito di Stark solleva interessanti questioni di fisica teorica. Questo problema tocca concetti fondamentali della meccanica quantistica, come la quantizzazione dell'energia. Di seguito risponderemo all'esercizio enunciato dal supereroe nel video che hai appena visto: «qual è lo spettro energetico di una particella quantistica confinata in un nastro di Möbius?» La soluzione dell'esercizio spiegata passo passo Come tagliare un nastro di Möbius in modo da renderlo un rettangolo. Ti consiglio di ruotare il telefono o passare alla modalità desktop per visualizzare le formule più lunghe per intero. Fatto? Allora iniziamo! Il problema in questione riguarda il comportamento di una particella elementare (come un elettrone) costretta a muoversi su una superficie particolare chiamata nastro di Möbius. Questo nastro ha una proprietà interessante: se lo percorri lungo la sua lunghezza, ti ritrovi sul lato opposto da dove sei partito. E se continui a percorrerlo, completando un altro giro, ti ritrovi invece nella posizione di partenza. Per semplificare, immaginiamo di tagliare questo nastro e srotolarlo in un semplice rettangolo (come mostrato nella figura sopra). La particella può muoversi liberamente su questo rettangolo, ma con alcune regole speciali ai bordi che riflettono la natura del nastro di Möbius. Detto ciò, consideriamo una particella di massa $m$ vincolata a muoversi sul nastro tagliato, ovvero un rettangolo di lunghezza $\eta$ e altezza $\xi$. Poniamo il rettangolo in modo orizzontale e definiamo un sistema di assi cartesiani con origine posta all'estremo sinistro del rettangolo e a metà della sua altezza, poi fissiamo l'asse $x$ parallelo alla sua lunghezza e, in fine, l'asse $y$ parallelo alla sua altezza. Va sottolineato che in meccanica quantistica, non possiamo dire esattamente dove si trova la particella. Invece, descriviamo la probabilità di trovarla in diversi punti usando una funzione detta "funzione d'onda", $\psi(x,y)$. Il comportamento della particella dipenderà da un operatore noto come "operatore hamiltoniano", $\hat{H}$, che riguarda l'energia della particella e, quindi, tiene anche conto delle forze a cui è sottoposta. Notiamo che l'operatore associato all'hamiltoniana del sistema contiene soltanto il contributo dell'energia cinetica (energia legata al suo moto) in quanto la particella è libera (cioè non è soggetta ad alcuna forza). Il termine cinetico appare così: \ L'equazione che descrive come si comporta la funzione d'onda è la famosa "equazione di Schrödinger": \ dove E sarebbe la variabile che vogliamo trovare, ovvero il livello energetico della particella, il cui insieme di valori possibili prende proprio il nome di spettro. Cerchiamo soluzioni dell'equazione precedente utilizzando il trucco della separazione delle variabili della funzione d'onda $\psi(x,y) f(x)g(y)$, per cui \ Da quest'ultima relazione osserviamo che l'unico modo affinché il primo membro sia costante è che ciascuno dei due termini presenti al primo membro siano a loro volta costanti in quanto dipendono da due variabili indipendenti diverse. Siano allora $-\nu_x^2$ e $-\nu_y^2$ rispettivamente i valori costanti della derivata parziale seconda in $x$ e di quella in $y$. Così, utilizzando la notazione di Newton per le derivate rispetto alla coordinata $x$, per la variabile $x$ otteniamo questa equazione differenziale alle derivate parziali: \ \ dove $C_1$ e $C_2$ sono costanti. Analogamente per la coordinata $y$: \ dove $C_3$ e $C_4$ sono anche costanti. Ora facciamo caso al fatto che la particella non può esistere fuori dal nastro, quindi la funzione d'onda deve annullarsi in corrispondenza dei bordi superiore e inferiore. Per quanto riguarda le condizioni ai bordi laterali (sinistro e destro), dobbiamo considerare la forma peculiare del nastro di Möbius. Quando la particella raggiunge un'estremità, deve andare all'altra estremità ma sul lato opposto. Matematicamente, questo si traduce nelle seguenti due condizioni: \ \ Applicando la prima condizione a $g(y)$, segue che $C_4 \sin(\nu_y \xi/2) 0$. Questa equazione può essere vera in due casi: $C_4 0$ oppure se si annulla il seno. Se $C_4 0$, ricordando che $g(w/2)0$ per la prima condizione, segue che $ \cos(\nu_y y)0$ e quindi $\k_y (2n + 1)\pi/\xi$. Nel caso in cui invece $C_4 \neq 0$, deve annularsi il seno, ovvero $\nu_y2n\pi/ w$. Rimane ancora il termine col coseno in $g(w/2) C_3 \cos(\nu_y w/2)$, dove in questo caso abbiamo trovato che $\nu_y2n\pi/ w$, quindi $g(w/2)C_3 \cos(n\pi)$. Allora per annullare $g(w/2)$ segue che $C_30$. Quindi abbiamo solo due casi possibili: $C_40$ o $C_30$. Ora riscriviamo la funzione d'onda nel primo caso ($C_4 0$) sostituendo le funzioni $f(x)$ e $g(y)$: \ dove $K_1 C_1C_3$ e $K_2 C_2C_3$. Adesso imponiamo alla funzione d'onda le rimanente condizioni al bordo, ovvero quella relative ai lati verticali del rettangolo, dove la particella viene proiettata sul punto simmetrico rispetto all'asse $x$: \ \ che deve valere per ogni valore di $x$, compreso $0$. Osserviamo che per $x 0$ si ha $\nu_x 2n\pi/\eta$, con $n \in \mathbb{N}$. Nel secondo caso ($C_3 0$), procedendo in maniera analoga, abbiamo che la funzione d'onda diventa: \ dove $J_1 C_1C_4$ e $J_2 C_2C_4$, e imponendo, come prima, la condizione al bordo verticale otteniamo: \ \ e osserviamo che per $x 0$ si ha $\nu_x 2\pi/\eta (n + 1/2)$. Finalmente scopriamo che il livello energetico della particella non può essere qualsiasi, ma può assumere solo certi valori discreti (gli autovalori dell'operatore hamiltoniano). Su un nastro di Möbius i livelli di energia sono: \^2, \forall n \in \mathbb{N} & \text{ per } C_4 0,\\\left^2 + \left(n\frac{2\pi}{\xi}\right)^2, \forall n \in \mathbb{N} & \text{ per } C_3 0.\end{cases}\] Questo fenomeno è chiamato "quantizzazione dell'energia", e puoi pensarlo come se la particella potesse saltare solo su gradini invisibili di una scala energetica, senza mai potersi fermare tra un gradino e l'altro. La sua scoperta ha trasformato la nostra comprensione della realtà, aprendo le porte a tecnologie innovative come i laser e i computer quantistici, e continua a stupirci con le sue implicazioni nel mondo che ci circonda. Insomma, come già anticipato, la soluzione del problema non ci aiuta davvero a viaggiare nel tempo. Tuttavia, con un po' di fantasia, è possibile cogliere l'analogia con il nastro di Möbius che Stark aveva in mente per spiegare come funzionano i viaggi nel tempo nel Marvel Cinematic Universe. Ma questo esercizio lo lasciamo al lettore. Nell'immagine in evidenza, Robert Downey Jr. in "Avengers: Endgame". Crediti: Marvel Studios. Per saperne di più: Leggi il libro "Introduction to Quantum Mechanics" della Cambridge University Press.

avengers

I calcoli dei “viaggi nel tempo” di Tony Stark

Navigazione

Privacy e Condizioni

Navigazione

Privacy e Condizioni

Premi ESC per chiudere

avengers