È il cosiddetto “numero di Graham”, primo numero di grandezza inconcepibile ad essere usato in una dimostrazione matematica. Basti pensare che lo spazio necessario a immagazzinare tale numero sarebbe superiore a quello dell’universo conosciuto.

Vi è mai capitato di chiedervi quale sia il numero più grande mai calcolato? E quante cifre avrebbe? Spesso, nei nostri articoli, utilizziamo le potenze di 10 per aiutarci nella comprensione delle distanze astronomiche. Ma esiste un numero, in particolare, che solo pensarlo genererebbe un buco nero. Non è fantascienza, ma il cosiddetto numero di Graham, il primo di grandezza inconcepibile ad essere usato in matematica. Prende il nome dal matematico americano Ronald Graham e pensare di rappresentarlo è considerato scientificamente impossibile. Cerchiamo di capirci qualcosa in più.

Qual è il numero più grande dell’universo? Credit: Pixabay

Il numero di Graham, spiegato

Partiamo dal presupposto che per poterlo rappresentare servirebbe uno spazio addirittura più grande dell’universo conosciuto. Peculiarità che ha anche dato la notorietà al numero di Graham il fatto di essere stato usato in una complessa dimostrazione matematica. Ma come ci si è arrivati?

Graham si è concentrato su un caso particolare della teoria di Ramsey, che include problemi del tipo: quante persone devono esserci in una stanza perché se ne possa trovare sempre un gruppo di 3, tali che ciascuna conosca tutte le altre o nessuno degli altri? Sono pochi i problemi di questo tipo ad essere stati risolti. Nonostante ciò, la teoria di Ramsey assicura che esiste sempre una risposta. Ma torniamo al nostro Graham.

Ecco l’enunciato da cui nasce il numero di Graham: “Sia N* la dimensione più piccola n di un ipercubo tale che se le linee che uniscono tutte le coppie di angoli sono bicolori per qualsiasi n ≥ N*, sarà forzato un grafico completo K4 di un colore con vertici complanari. Trova N*.”

Ipercubo
Un ipercubo. Credit: Creative Commons https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hypercube.svg

Come si calcola il numero di Graham

Cerchiamo di spiegare in cosa consiste il problema. Immaginate di avere un ipercubo di qualsiasi numero di dimensioni: una dimensione è una linea, due un quadrato, tre un cubo, quattro un tesseratto (o ipercubo), etc. Chiameremo quel numero di dimensioni N. Immaginate, poi, di collegare tutte le possibili coppie di vertici e colorare quelle linee in rosso o in blu. La domanda è: qual è il più piccolo numero di dimensioni N tale che tutte le colorazioni possibili abbiano un grafico monocromatico di quattro vertici complanari (cioè un insieme di 4 punti collegati in tutti i modi possibili con tutte linee dello stesso colore)? Capite da voi che è un numero grandissimo, quasi inconcepibile per noi comuni mortali.

Per farvela breve: nel 1971 lo stesso Graham pubblicò un articolo in cui dimostrava che la risposta esiste. Il numero può essere rappresentato e calcolato tramite la notazione a frecce di Knuth, nella quale ogni singola freccia verso l’alto rappresenta un elevamento a potenza, la doppia freccia rappresenta una tetrazione (una potenza ricorsiva), mentre le tre frecce rappresentano una tetrazione ricorsiva. Ogni successiva freccia incrementa la profondità di iterazione. In termini numerici il numero di Graham può essere rappresentato così:

Tra l’altro il numero di Graham venne anche inserito nel Guinness World Records del 1980 come il più grande numero mai utilizzato in una prova matematica, salvo essere rimosso solo pochi anni più tardi.

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