Il paradosso di Monty Hall, spiegato

Riguarda il calcolo delle probabilità ed è ispirato ad un famoso gioco a premi in voga negli Stati Uniti chiamato “Let’s make a deal”. Ecco di cosa si tratta.

Come sapete, la matematica (e la fisica) sono scienze che ci permettono di risolvere spesso problemi di vita quotidiana. A volte, però, possono risultare controindicative, come dimostrano i famosi paradossi scientifici di cui vi raccontiamo di tanto in tanto nei nostri articoli. Quello su cui vorrei soffermarmi oggi riguarda il problema di Monty Hall. Questo paradosso prende il nome dal conduttore di un gioco a quiz americano, “Let’s make a deal”, che era soprannominato appunto Monty Hall. Cerchiamo di capire di cosa si tratta nello specifico.

Il paradosso che non è un paradosso

Immaginate di avere di fronte a voi tre porte chiuse. Solo dietro una di esse si nasconde il premio (nel caso del gioco a quiz un’automobile), mentre dietro le altre due porte ci sono due capre. A questo punto il conduttore vi chiede di scegliere una porta. Mettiamo che voi optiate per la numero 3. A questo punto il conduttore (che sa cosa c’è dietro ciascuna porta) ne apre un’altra (quindi la 1 o la 2), svelando che dietro di esse c’è una capra. A quel punto vi fa un’altra domanda: intendete cambiare porta o no?

È qui che entra in ballo la matematica e nello specifico, il calcolo delle probabilità. Potreste pensare di avere il 50% di probabilità di vincere, dato che ne sono rimaste due (in una c’è la capra, nell’altra l’automobile). O ancora, potreste sospettare che il conduttore vi stia sviando per farvi perdere. In ogni caso, state facendo associazioni errate, perché non state tenendo conto della famosa probabilità condizionata.

Pensateci: all’inizio avevate 1/3 delle probabilità di vincere il premio. Il fatto che il conduttore apra un’altra porta, però, cambia lo scenario del gioco, poiché vi dà un’informazione in più. Cambiando porta, infatti, vincereste il premio con una probabilità di 2/3. A questo punto le cose sono tre: se dietro la porta che avevate scelto all’inizio c’è l’automobile, ma voi decidete di cambiare, perdete. Se dietro la porta che avevate scelto c’era una capra, cambiando vincereste. E se dietro la porta scelta all’inizio ci fosse la seconda capra, cambiando avreste vinto.

In sostanza, vincereste in due casi su tre, se cambiaste porta. La contraddizione di questo gioco sta proprio nel fatto che spesso siamo convinti che il passato non influenzi il presente da un punto di vista probabilistico. Invece, a volte, le cose stanno proprio così.

Riferimenti:

• https://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Monty_Hall